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从一团空气到一个台风

这一页写给刚开始学大气科学、想研究台风的同学。前两部分是必须先懂的基础：空气为什么能“站住”，什么时候会翻滚起来，地球一转又多出哪些力。第三部分用这些基础去理解台风内部最重要的几个物理过程。

每一节都先看动画、拖一拖滑块，再读一句话总结。公式收在“数学一点点”里，第一次读可以跳过。

动画离开屏幕会自动暂停；按“播放/暂停”控制。

真模型第 11–21 节是浏览器里现算的：次级环流解椭圆方程，罗斯贝波几节解二维涡度方程，等角动量面和高空槽两节按给定的示意风场直接计算。

颜色沿用示意图的符号规范：入流出流上升/暖涡度/PV 潜热反馈

PART 1

大气怎样“站住”：静力学与热力学

空气有重量，却不会掉到地上；有时它稳稳待着，有时一推就翻滚成积雨云。先把这两件事弄清楚。

静力平衡

每一层空气都被下方更大的气压托住：向上的气压差力正好抵消它的重力。所以气压随高度减小，暖的气柱更“高”。

把大气想成一摞叠起来的薄层。每一层底面受到的气压比顶面大，这个差值产生向上的力；同时这一层有重量。两者相等时空气不加速，这就是静力平衡。在大尺度、也包括台风的大部分区域，它都成立得非常好（对流云里的强上升气流例外）。

同样从 1000 hPa 到 500 hPa，暖空气密度小，需要更厚的一层才能装下同样的质量。所以两个等压面之间的厚度正比于这层的平均温度（测高方程）。

在台风里台风中心上空是暖心。暖的气柱更厚，于是在高空，中心的气压反而不比周围低多少；倒过来说，在高空气压差很小的情况下，暖心让地面的气压比周围低得多。中心气压能降到 900 hPa 以下，靠的正是整层的增暖。

数学一点点

静力方程与理想气体状态方程：

$$\frac{\partial p}{\partial z} = -\rho g,\qquad p = \rho R_d T$$

两式联立并从 $p_1$ 积分到 $p_2$，得到测高方程（$\bar T$ 为层平均温度）：

$$z_2 - z_1 = \frac{R_d \bar T}{g}\ln\frac{p_1}{p_2}$$

$R_d \bar T / g$ 叫标高，约 8 km。层平均温度高 10 K，1000–200 hPa 的厚度大约增加 0.5 km。

延伸阅读：LaCasce（2023）讲义 §2.1，PDF 第 31 页起；Stull《Practical Meteorology》第 1 章。

气块与绝热过程

一团空气上升时膨胀变冷：没饱和时每升高 1 km 降温约 9.8 K（干绝热）；饱和以后水汽凝结放出潜热，降温变慢到约 4–7 K/km（湿绝热）。

“气块”是一个思想实验：假想一小团空气上升或下沉，和周围不交换热量（绝热），气压始终等于周围的气压。上升时外面气压小了，气块膨胀做功，内能减少，温度下降。

降温到露点时水汽饱和，这个高度叫抬升凝结高度（LCL），也就是积云的云底。再往上，每凝结一点水就放出潜热，抵消一部分膨胀降温，所以湿绝热线比干绝热线陡（在图上看更“直”）。越暖的空气含水汽越多，湿绝热递减率越小。

在台风里热带洋面上的空气又暖又湿，云底只有几百米高。眼墙里上升的空气基本沿湿绝热线上升，把海面得到的热量和水汽带到对流层上部，这是第 16 节“卡诺热机”里“绝热上升”那一段。

数学一点点

$$\Gamma_d = \frac{g}{c_p}\approx 9.8\ \mathrm{K\,km^{-1}},\qquad \Gamma_m = g\,\frac{1 + \dfrac{L_v r_s}{R_d T}}{c_p + \dfrac{L_v^2 r_s \varepsilon}{R_d T^2}}$$

位温 $\theta = T(1000/p)^{R_d/c_p}$ 在干绝热过程中守恒；相当位温 $\theta_e$ 在干、湿绝热过程中都近似守恒，图中气块的 $\theta_e$ 用 Bolton（1980）公式计算。

延伸阅读：Stull（2017）§3.4.4 位温，PDF 第 77 页；Markowski & Richardson（2010）PDF 第 59 页起（稳定度与气块理论）。

静力稳定度与浮力振荡

把气块往上推一下：如果它比周围冷，就被拉回来并上下振荡（稳定）；如果比周围暖，就越跑越快（不稳定）。判断依据是环境的温度递减率。

气块被抬升后按干绝热线降温（每千米 9.8 K）。如果环境每千米只降 6.5 K，气块很快就比环境冷、比环境重，负浮力把它拉回原位；冲过头后又被推上来，形成振荡，频率叫浮力频率 $N$。如果环境降温比 9.8 K/km 还快，气块总比周围暖，越升越快，就是干不稳定。

实际大气几乎总是“干稳定”的。真正让对流发生的，是下一节要讲的饱和以后的情况。

在台风里$N^2$ 决定空气上下运动有多“费劲”，是第 13 节次级环流方程里的一个系数。中层干空气、眼区下沉增暖都会改变局地的稳定度。

数学一点点

气块位移 $\zeta$ 满足

$$\frac{d^2\zeta}{dt^2} = -N^2\zeta,\qquad N^2 = \frac{g}{\theta}\frac{\partial\theta}{\partial z} \approx \frac{g}{T}(\Gamma_d - \Gamma)$$

$N^2>0$ 时振荡，周期 $2\pi/N$，对流层典型值约 10 分钟；$N^2<0$ 时位移按 $e^{|N|t}$ 增长。

延伸阅读：Stull（2017）第 5 章“大气稳定度”，PDF 第 135 页起（浮力频率的练习见 PDF 第 162–165 页）。

条件不稳定、CAPE 与 CIN

热带大气对干空气是稳定的，对饱和空气却不稳定，叫条件不稳定。气块越过自由对流高度（LFC）后一路被浮力加速，能拿到的能量叫 CAPE。

图中黑线是环境温度，彩色线是从地面抬升的气块温度。气块先比环境冷（蓝色面积，CIN，需要外力推它过去），越过 LFC 以后比环境暖（红色面积，CAPE），一直加速到平衡高度（EL）附近才停下，那里通常是积雨云的云砧。

CAPE 换算成速度是 $w_{\max}=\sqrt{2\,\mathrm{CAPE}}$。真实云里的上升速度比这个小很多，因为气块会和周围的干空气混合（夹卷），还要背着凝结出来的水（水载物）。

在台风里热带洋面上 CAPE 多在 1000–2500 J/kg，但台风的眼墙并不靠很大的 CAPE。眼墙空气从海面拿到的热量让它沿着几乎是中性的湿绝热线上升，更像一部“热机”，而不是一个个爆发的热泡。中层干空气让 CAPE 计算看起来变化不大，却会通过夹卷和下沉气流削弱对流，这是研究台风强度时常要考虑的。

数学一点点

$$\mathrm{CAPE} = \int_{\mathrm{LFC}}^{\mathrm{EL}} g\,\frac{T_{p}-T_{e}}{T_{e}}\,dz,\qquad \mathrm{CIN} = \int_{0}^{\mathrm{LFC}} g\,\frac{T_{p}-T_{e}}{T_{e}}\,dz\ (<0)$$

严格的定义用虚温；这里为了直观用了温度，数值会偏小几十到一两百 J/kg。

延伸阅读：Markowski & Richardson（2010）PDF 第 59–63 页（气块理论及其局限）；Wang & Wang（2014）PDF 第 13 页（CAPE 与 $w_{\max}$ 的定义）。

对流（位势）不稳定

如果一整层空气下湿上干（相当位温 θe 随高度减小），把整层抬起来，底部先饱和、降温慢，顶部后饱和、降温快，整层就会变得不稳定。

上一节讲的是单个气块。大尺度的抬升（锋面、地形、台风外围的辐合）往往是一整层一起被抬起。层底湿，很快就饱和、按湿绝热降温；层顶干，要抬很久才饱和，这段时间一直按干绝热降温。结果是层顶变得比层底冷得多，层内的温度递减率变大，原本稳定的层变成了不稳定的层。

判断方法很简单：看 $\theta_e$ 是不是随高度减小。热带洋面上，近地面 $\theta_e$ 约 350–360 K，中层（3–5 km）常降到 330–335 K，这正是对流不稳定的典型廓线。

在台风里$\theta_e$ 几乎是台风热力学的通用“货币”：海面通量提高边界层的 $\theta_e$，眼墙把高 $\theta_e$ 的空气送上去形成暖心，下沉气流把中层低 $\theta_e$ 的空气带进边界层削弱台风（通风）。后面几节会反复用到它。

数学一点点

$$\frac{\partial\theta_e}{\partial z} < 0 \quad\Rightarrow\quad \text{对流（位势）不稳定}$$

原因：整层抬升到饱和后，层内的稳定度由饱和相当位温 $\theta_e^*$ 的垂直梯度决定，而 $\theta_e$ 在抬升中守恒，于是饱和后的 $\partial\theta_e^*/\partial z$ 继承了原来 $\partial\theta_e/\partial z<0$ 的符号。

延伸阅读：Markowski & Richardson（2010）第 2–3 章（中尺度稳定度）；Stull（2017）第 5 章。

PART 2

旋转起来：动力学

地球在转。站在转动的地面上看，运动的空气会被一个看不见的力推向一边。台风之所以是个旋转的涡旋、而不是一团乱流，全靠这一部分的内容。最后两节讲流场自己“长出”扰动的两种方式：正压不稳定和斜压不稳定。

科氏力

在转盘外面看，球走的是直线；站在转盘上看，同一个球却向右拐（北半球）。这个“拐”就是科氏力：它不是真正的力，而是我们自己在转。

左图是从太空看的惯性系，右图是站在转盘上看的同一次运动。科氏力总是垂直于运动方向，只改变方向、不改变速度大小。北半球向右偏，南半球向左偏，赤道上（对水平运动）为零。

如果没有其他力，空气会在科氏力作用下画圆圈，叫惯性振荡，周期是 $2\pi/f$。在 20°N，$f\approx5\times10^{-5}\,\mathrm{s^{-1}}$，一圈约 35 小时；纬度越低，转得越慢。

在台风里赤道附近 $f$ 太小，几乎不生成台风（多数生成在 5°N/S 以外）。外围入流的空气在科氏力作用下向右偏，开始绕中心逆时针旋转，这是台风获得旋转的起点。

数学一点点

$$\frac{d\mathbf{u}}{dt} = -f\,\hat{\mathbf{k}}\times\mathbf{u} + \cdots,\qquad f = 2\Omega\sin\varphi$$

$\Omega = 7.29\times10^{-5}\,\mathrm{s^{-1}}$ 是地球自转角速度，$\varphi$ 是纬度。

延伸阅读：Lindzen（2008）讲义第 4 章“旋转系统的静力学”，PDF 第 37 页；Stull（2017）第 10 章，PDF 第 305 页起。

地转与梯度风平衡

气压梯度力把空气推向低压，科氏力把它拐向右边，最后风沿着等压线吹（地转风）。等压线是圆圈时还要加上离心力，就是台风里的梯度风平衡。

左图：一个静止的气块被气压梯度力推向低压，开始加速；科氏力随速度增大，把它往右拐；经过几次振荡（地转调整），最终风沿等压线吹，气压梯度力和科氏力左右抵消。

右图：在一个圆形低压周围，三个力的相对大小随半径变化。外围风小、半径大，科氏力是主角（接近地转）；越往里，离心力越重要；在眼墙附近，离心力远大于科氏力（接近旋衡）。罗斯贝数 $Ro = V/(fr)$ 就是离心力和科氏力之比。

在台风里边界层以上的台风切向风大体满足梯度风平衡，所以可以由气压场算出风场，反之亦然。在边界层里摩擦破坏了这个平衡，空气会向内吹，这是第 14 节的故事。

数学一点点

$$\frac{v^2}{r} + f v = \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial r}$$

左边第一项是离心力，第二项是科氏力。$Ro\ll1$ 时退化为地转风 $fv = \rho^{-1}\partial p/\partial r$，$Ro\gg1$ 时为旋衡风 $v^2/r=\rho^{-1}\partial p/\partial r$。

延伸阅读：LaCasce（2023）§2.2，PDF 第 37 页起（地转、旋衡、惯性流、梯度风）；Stull（2017）PDF 第 313 页（离心力与梯度风）。

惯性稳定度

把涡旋里的一圈空气往外推：它保持自己的角动量，转得比新位置的空气慢，离心力不够，被拉回来。台风核心的这种“抗拒”非常强。

这和静力稳定度是同一个思路，只是方向从垂直换成了水平（径向）。被推开的一圈空气保持绝对角动量 $M$。如果 $M$ 向外增大（正常的气旋），外推的一圈 $M$ 偏小、转得慢，梯度风平衡要求的离心力不够，就被压回内侧，来回振荡。如果 $M$ 向外减小，被外推的一圈就会继续往外跑：惯性不稳定。

惯性稳定度 $I^2$ 在台风核心里能比外围大两三个量级。高空外流区里反气旋性很强的地方，$I^2$ 可以接近零甚至为负，外流很容易流出去。

在台风里惯性稳定度像台风核心的“护甲”：环境的扰动很难把核心的空气推开，台风一边增强一边收缩时，这层护甲变得更硬；但高层出流区的护甲很薄，所以高空槽能从上面影响台风（第 20 节）。它也让径向运动变得费力，加热在高 $I^2$ 区域里产生的次级环流较弱，留下的增温比例却更高（第 13 节）。

数学一点点

$$M = rv + \tfrac12 f r^2,\qquad I^2 = \frac{1}{r^3}\frac{\partial M^2}{\partial r} = \Big(f+\frac{2v}{r}\Big)\Big(f+\frac{1}{r}\frac{\partial (rv)}{\partial r}\Big)$$

小位移 $\delta r$ 满足 $\ddot{\delta r} = -I^2\,\delta r$。$I^2>0$ 时振荡，周期 $2\pi/I$；$I^2<0$ 时惯性不稳定。

延伸阅读：Markowski & Richardson（2010）PDF 第 65 页（移动一圈空气的推导），PDF 第 69 页（对称不稳定）；Schubert & Hack（1982）PDF 第 1 页；COMET《Introduction to Tropical Meteorology》第 10 章（2008，本地顾问工具/示意图/参考资料/Ch10_Tropical_Cyclones.pdf） PDF 第 28–29 页（收缩、增强使 $I$ 迅速增大；出流反气旋的 $I$ 很弱）。

热成风与暖心

风随高度怎么变，由温度的水平分布决定。台风中心暖、四周冷，所以气旋风随高度减弱，到了高空变成反气旋性的外流。

把第 1 节和第 7 节合起来：中心暖的气柱更厚，等压面在中心上方“鼓起来”。低层等压面在中心最低（气压梯度指向中心，强气旋风）；越往上，暖心让中心的等压面抬得越多，气压梯度变小，气旋风减弱；到了对流层上部，梯度反过来，风变成反气旋性。

拖动“暖心强度”：暖心越强，地面气压越低，低层风越大，而高空的风场变化不大。这说明地面最大风速主要由暖心的强度决定。

在台风里热成风平衡把“暖心有多强”和“低层风有多大”绑在一起。台风增强的过程，在热力学上就是暖心增强的过程。反过来也一样：登陆后失去对流和眼区下沉，高层暖心减弱，中心气压回升、梯度风变弱（把滑块往左拖就是这个过程）。

数学一点点

$$\Big(f + \frac{2v}{r}\Big)\frac{\partial v}{\partial z} = \frac{g}{\theta_0}\frac{\partial\theta}{\partial r}$$

中心暖意味着 $\partial\theta/\partial r<0$，于是 $\partial v/\partial z<0$：气旋风随高度减弱。

延伸阅读：LaCasce（2023）§2.5，PDF 第 55 页；COMET《Introduction to Tropical Meteorology》第 10 章（2008，本地顾问工具/示意图/参考资料/Ch10_Tropical_Cyclones.pdf） PDF 第 33 页（登陆后暖心减弱、气压回升）。

涡度与罗斯贝波

科氏参数 $f$ 向北增大。一串空气南北摆动时，为了保持绝对涡度，北上的变成反气旋、南下的变成气旋，它们推着波形向西传。这就是罗斯贝波。

动画默认是“分步讲解”，点“下一步”一步步看；看懂以后切到“自由演示”调参数。整个道理只有三步：

① 绝对涡度守恒。涡度 $\zeta$ 描述空气自身的旋转（逆时针为正）。不辐散的空气保持 $\zeta+f$ 不变，而 $f$ 向北增大。把一串原本都在同一纬度、都不转的空气块推成波浪：推到北边的（波峰）$f$ 变大，$\zeta$ 只能变成负的，顺时针转；推到南边的（波谷）$f$ 变小，$\zeta$ 变成正的，逆时针转。

② 看两个旋涡中间那一点。取波谷（在西）和波峰（在东）之间的那一点：东边波峰的顺时针旋涡，在它的西侧风是往北吹的（想象钟表指针走到 9 点钟位置时是往上走的）；西边波谷的逆时针旋涡，在它的东侧风也是往北吹的。两边都把这一点往北推。反过来，波峰东边那一点，两边都把它往南推。

③ 波形向西挪。波峰的西边在升高、东边在降低，于是“最高点”一点点挪到西边；波谷同理。整列波就向西传了。

几个容易混的地方：空气块本身只是南北来回摆，往西走的是形状（像体育场里的人浪）；向西是由“$f$ 向北增大”（$\beta>0$）决定的，南半球 $f$ 为负但同样向北增大，所以那边也是西传；波长越长，每个旋涡越大、推得越远，传得越快（$c=-\beta/k^2$）；这些说的是相对于背景风的传播，西风足够强时，波形会停住甚至被吹向东（“自由演示”里的西风滑块）。

在台风里记住这里的关键：背景涡度的梯度就是罗斯贝波的恢复力。台风本身中心涡度大、外面小，也有一个很强的径向涡度梯度，所以台风里也有“罗斯贝波”，只是方向从南北换成了径向，这就是第 18、19 节的涡旋罗斯贝波。第 21 节的 β 漂移则是台风和这里的行星 $\beta$ 直接作用的结果。接下来两节会看到：两列方向相反的罗斯贝波锁在一起时，扰动会自己长大，这就是正压不稳定和斜压不稳定。

数学一点点

$$\frac{D}{Dt}(\zeta + f) = 0,\qquad \beta = \frac{df}{dy}$$

对小扰动 $\psi\propto e^{i(kx+ly-\omega t)}$，得到频散关系与纬向相速：

$$\omega = -\frac{\beta k}{k^2+l^2},\qquad c_x = \frac{\omega}{k} = -\frac{\beta}{k^2+l^2} < 0$$

延伸阅读：LaCasce（2023）§3.5“正压罗斯贝波”，PDF 第 77 页；涡度方程见 §3.1，PDF 第 65 页。

正压不稳定：水平切变里长出的扰动

平均风在水平方向上有切变（一支急流、一条涡度带）时，扰动可以从平均流的动能里取能量长大。必要条件是背景涡度梯度 $\beta-\bar u_{yy}$ 在某处变号（Rayleigh–Kuo 判据）。

动画默认是“分步讲解”，点“下一步”看；看懂后切到“数值模拟”看真实的演变。思路接着第 10 节：背景涡度往哪边增大，决定罗斯贝波往哪边传。

① 两条边各有一列波，方向相反。以一条涡度带（带里涡度高、带外低，比如 ITCZ）为例。南缘往北走涡度增大，和地球的 $f$ 一样，这里的波相对空气向西传；北缘往北走涡度减小，方向反过来，这里的波相对空气向东传。

② 风把它们拖住。带里的风是南缘向东吹、北缘向西吹（$\zeta=-\partial\bar u/\partial y$）。南边的波自己往西走、被风往东吹；北边的波自己往东走、被风往西吹。波长合适时两者几乎抵消，两列波都差不多停在原地，可以一直“对着”。

③ 互相推，一起长大。每列波的旋涡产生的南北风会伸到对面那条边。两条边错开合适的距离（约四分之一波长）时，南缘的旋涡正好把北缘的波峰推得更北、波谷推得更南，北缘对南缘也一样，于是两列波互相放大，按指数增长。

④ 能量从平均流的动能来。增长的扰动，其槽脊在水平面上逆着平均风的切变倾斜，扰动动量通量 $\overline{u'v'}$ 把动量从带中搬走，平均流的动能转给了扰动。所以失稳以后平均风变弱、变宽（“数值模拟”右上图），不再满足不稳定条件，扰动饱和，带子卷成一串涡旋。

⑤ $\beta$ 的作用。地球的 $\beta$ 在两条边上都是“往北增大”：加强南缘，却抵消北缘。带子又宽又弱时，北缘被 $\beta$ 压过，也变成向西的波，凑不成一对，扰动长不起来（“数值模拟”预设 B，试试开关 $\beta$）。这就是 Rayleigh–Kuo 判据：$\beta-\bar u_{yy}$ 必须在某处变号。它只是必要条件，满足了也只说明“可能”不稳定。

在台风里 正压不稳定和台风的关系主要有三处。① ITCZ 破碎：东太平洋等地的 ITCZ 在低层是一条细长的高涡度带，Nieto Ferreira & Schubert（1997）用浅水模式说明它可以因正压不稳定破碎成一串扰动，其中一些发展成台风（预设 A）。② 非洲东风急流与东风波：急流两侧满足不稳定条件，长出波长 2000–4000 km 的东风波，它们是大西洋许多飓风的“种子”；东风波兼有正压和斜压性质，还要靠对流加热进一步加强（Burpee 1972；Núñez Ocasio et al. 2026 的综述），预设 C 里只有正压部分，所以有 $\beta$ 时长得很慢。③ 台风内核：眼墙是一个高涡度环，环的内侧涡度梯度反号，第 19 节的多边形眼墙和中尺度涡就是这一节在圆形涡旋上的版本。Kwon & Frank（2005）的干模拟里，正压涡动从主涡旋的动能中取能量，削弱主涡旋。

数学一点点

在纬向平均风 $\bar u(y)$ 上线性化正压涡度方程：

$$\Big(\frac{\partial}{\partial t}+\bar u\frac{\partial}{\partial x}\Big)\zeta' + v'\big(\beta-\bar u_{yy}\big)=0$$

Rayleigh–Kuo 判据：不稳定的必要条件是 $\beta-\bar u_{yy}$ 在区域内某处改变符号（没有 $\beta$ 时就是 Rayleigh 拐点定理：$\bar u_{yy}$ 变号）。扰动动能的收支

$$\frac{d}{dt}\int \frac{\overline{u'^2+v'^2}}{2}\,dy = -\int \overline{u'v'}\,\frac{\partial \bar u}{\partial y}\,dy$$

说明只有当 $\overline{u'v'}$ 与 $\partial\bar u/\partial y$ 反号（扰动逆着切变倾斜）时，扰动才从平均流取得动能。圆形涡旋里，对应的条件是 $d\bar\zeta/dr$ 变号（第 19 节）。

“分步讲解”用的是最简单的 Rayleigh 涡度带：带内涡度 $\zeta_0$（\(|y| $$\frac{d\eta_N}{dt}=\frac{i\zeta_0}{2}\Big[(K-1)\,\eta_N+e^{-K}\eta_S\Big],\qquad \frac{d\eta_S}{dt}=\frac{i\zeta_0}{2}\Big[-(K-1)\,\eta_S-e^{-K}\eta_N\Big]$$

方括号里第一项是“风的平流 + 本边缘罗斯贝波的传播”（$K=1$ 时正好抵消，即“风把波拖住”），第二项是对面边缘的旋涡在这里吹的南北风（随距离按 $e^{-K}$ 衰减，即“互相推”）。增长率 $\sigma=\tfrac{\zeta_0}{2}\sqrt{e^{-2K}-(K-1)^2}$，在 $K\approx0.8$ 时最大（约 $0.2\zeta_0$），$K>1.28$（波太短）时稳定。

动画用的是二维涡度方程伪谱模式（128×128，区域 6000 km，东西、南北都周期；第 18、19、21 节用的也是它），纬度取 12°N。

延伸阅读：LaCasce（2023）§3.12 正压不稳定，PDF 第 124 页起（Rayleigh–Kuo 判据是必要而非充分条件、Bickley 射流的例子，PDF 第 130 页）；Lindzen（2008）第 13 章，PDF 第 258 页（Rayleigh 拐点定理）；Kwon & Frank（2005）PDF 第 1 页；Emanuel（2018）PDF 第 19 页。网上：Nieto Ferreira & Schubert（1997, J. Atmos. Sci.）“Barotropic aspects of ITCZ breakdown”；Núñez Ocasio et al.（2026）非洲东风波综述；Heifetz et al.（2004）反向传播罗斯贝波的观点。

斜压不稳定：南北温差里长出的气旋

南暖北冷、风随高度增大（热成风）时，南北温差里储存着有效位能。扰动让暖空气向北上升、冷空气向南下沉，把位能变成动能长大。中纬度的温带气旋和高空槽就是这样来的。

视图 A：能量从哪里来。南暖北冷时，等位温面南低北高地倾斜。设想一团暖空气 A 和一团冷空气 B 沿一条斜线交换位置：如果这条线比等位温面缓（落在品红的“不稳定楔形”里），A 往北上升后仍比周围暖、继续上浮，B 往南下沉后仍比周围冷、继续下沉，整层空气的重心降低，释放位能；坡度取等位温面的一半时释放最多。路径比等位温面还陡，静力稳定度就会把它们拉回来；水平或向北下沉的交换则要消耗位能。这种“倾斜交换”就是斜压不稳定取能量的方式。

视图 B：Eady 模型。最简单的斜压不稳定模型：$f$ 和 $N$ 为常数，风随高度线性增大，地面和对流层顶是两个刚性边界。它的增长模态有几个特征：低压槽轴随高度向西倾斜；地面暖区在槽之东（槽前）；暖空气向北、向上，冷空气向南、向下，正好是视图 A 里的楔形交换。增长最快的波长约为罗斯贝变形半径 $NH/f$ 的 3.9 倍（中纬度约 4000 km），e 折时间约一天；短于某个波长的波不增长。整列波以对流层中部（“引导层”）的风速向东移动。

和上一节一样，也可以用两列反向传播的罗斯贝波来理解：地面和对流层顶的南北位温梯度各支持一列“边缘波”，二者相对平均风反向传播；垂直切变把它们锁在一起，互相放大。区别在于能量来源：正压不稳定吃的是平均流的动能（水平切变），斜压不稳定吃的是南北温差的有效位能（垂直切变）。

在台风里 台风和温带气旋的能量来源不同：台风是暖心、接近正压的涡旋，能量主要来自海面的焓通量（第 16 节卡诺热机），而不是南北温差。这也是台风喜欢弱垂直风切变环境的原因之一，那里斜压性弱。斜压过程在这些场合进来：① 第 20 节的高空槽本身就是斜压波，它的涡动角动量通量能从上面影响台风；② 温带变性：台风北上进入斜压带，与中纬度槽相互作用，可能重新借南北温差的能量发展成温带气旋（Evans et al. 2017 的综述）；③ 非洲东风波兼有斜压性质；④ 台风内核也可能局地满足斜压不稳定条件：Kwon & Frank（2005）的干模拟中，这样的涡旋增长最快的模态出现在约 14 km 高、半径 20 km 处，向切变反方向倾斜，而且斜压涡动加强主涡旋（与正压涡动相反）。Emanuel（2018）也提到，Montgomery & Kallenbach（1997）把这类判据推广到了斜压的圆形涡旋。

数学一点点

视图 A：等位温面坡度为 $s=-\theta_y/\theta_z$，沿坡度 $\alpha$ 的路径交换一对气块，释放的位能

$$\Delta PE \;\propto\; \alpha\,(s-\alpha)$$

在 \(0<\alpha

视图 B：Eady 模型（准地转，$U=\Lambda z$，$0\le z\le H$）。扰动 $\psi\propto \hat\psi(z)\,e^{ik(x-ct)}$，记 $\mu=NkH/f$，$U_0=\Lambda H$：

$$c=\frac{U_0}{2}\pm\frac{U_0}{\mu}\sqrt{\Big(\frac{\mu}{2}-\coth\frac{\mu}{2}\Big)\Big(\frac{\mu}{2}-\tanh\frac{\mu}{2}\Big)},\qquad \hat\psi=\cosh\frac{\mu z}{H}-\frac{U_0}{\mu c}\sinh\frac{\mu z}{H}$$

$\mu<2.40$ 时 $c$ 为复数，增长率 $\sigma=k\,c_i$；最大增长率 $\sigma_{\max}\approx0.31\,f\Lambda/N$，出现在 $\mu\approx1.61$，即波长 $\lambda\approx 2\pi NH/(1.61f)\approx3.9\,NH/f$。实部 $c_r=U_0/2$：波随对流层中部的风移动。图中的温度 $\theta'\propto\partial\psi/\partial z$，垂直速度由热力学方程 $N^2w=-(\partial_t+U\partial_x)f\psi_z+f\Lambda\psi_x$ 得到，都是这个解析解现算的。

一般的必要条件（Charney–Stern）：内部位涡梯度和上下边界的位温梯度组合起来要“有正有负”。Eady 模型内部位涡梯度为零，由地面和对流层顶两个边界提供相反的符号。

延伸阅读：LaCasce（2023）§4.8，PDF 第 177–178 页（倾斜交换、温度线回落、Charney–Stern 判据）；§4.9 Eady 模型，PDF 第 184–191 页（第 190 页：$c_r=\Lambda D/2$，引导层；第 191 页：增长率曲线，取 $N=0.01\,\mathrm{s^{-1}}$、$f=10^{-4}\,\mathrm{s^{-1}}$、$\Lambda=0.005\,\mathrm{s^{-1}}$、$D=10$ km 并考虑有限的南北宽度时，最不稳定波长约 5000 km）；Emanuel（2018）PDF 第 19 页；Kwon & Frank（2005）PDF 第 1 页。网上：MIT 12.803 第 19 讲（Eady 模型）；Heifetz et al.（2004）；Evans et al.（2017）温带变性综述。

PART 3

热带气旋里的物理过程

有了前面的基础，就可以看懂台风内部最重要的几件事：加热怎样转成环流、摩擦层怎样把风“挤”强、能量从哪里来、上限在哪里，以及台风里的波动和移动。这一部分的动画都是现场计算的简化模型。

次级环流：加热怎样让涡旋转得更快

眼墙里释放的潜热不会直接“变成风”。为了保持梯度风和热成风平衡，涡旋会自己长出一个低层入流、加热处上升、高层出流的次级环流；低层入流把角动量向内输送，切向风才加强。

图中是一个径向–高度剖面，左边是台风中心。底色深浅表示惯性稳定度 $I^2$，越深越“硬”。红色椭圆是加热区，可以用鼠标或手指拖动。蓝色和橙色的小点是随次级环流运动的示踪粒子，细线是流线。下方小图是低层（约 1.6 km）切向风的增长率。

试着把加热从外围拖进最大风速半径（RMW）以内：环流变弱、变扁，但右上角的“增温比例”升高，切向风增长最快的位置也落到 RMW 以内。这就是 Schubert & Hack（1982）的结论：在惯性稳定度高的地方加热，更多的加热留作局地增温，而不是被上升运动的绝热冷却抵消；低层切向风在 RMW 以内加速最快，所以 RMW 收缩。

在台风里次级环流是轴对称台风增强的主线：加热 → 入流 → 角动量向内输送 → 切向风增强 → 惯性稳定度增大 → 加热效率更高。它也解释了为什么暖心和最大风常常在 RMW 以内快速建立。注意这里只有“平衡”的部分；边界层里的非平衡过程见下一节。

数学一点点

在轴对称、梯度风和热成风平衡、Boussinesq 近似下，用流函数 $\psi$ 表示次级环流（$u=-\partial\psi/\partial z,\ w=r^{-1}\partial(r\psi)/\partial r$），得到 Sawyer–Eliassen 方程。这里取正压涡旋（斜压项 $B=0$）、$N^2$ 为常数：

$$N^2\frac{\partial}{\partial r}\Big(\frac{1}{r}\frac{\partial (r\psi)}{\partial r}\Big) + I^2(r)\,\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2} = \frac{g}{\theta_0}\frac{\partial \dot\theta}{\partial r}$$

由 $\psi$ 得到 $\partial v/\partial t = -u\,(f+\zeta)$ 和 $\partial\theta/\partial t = \dot\theta - w\,\theta_0 N^2/g$。“增温比例”定义为 $\int\dot\theta\,\partial_t\theta\,dV\big/\int\dot\theta^2\,dV$。浏览器里用按列的线松弛法在 100×40 网格上求解。

延伸阅读：Schubert & Hack（1982）PDF 第 1 页（摘要列出的四点结论）；Shapiro & Willoughby（1982）；Bui et al.（2009）PDF 第 1 页（平衡与非平衡部分的比较）；Pendergrass & Willoughby（2009）。

边界层入流与超梯度风

摩擦让近地面的风变慢，梯度风平衡被打破，空气向内冲。向内时它几乎保持角动量，转得越来越快，到了内核超过梯度风，向外的合力把入流急刹住，空气被迫向上喷出，形成眼墙。

上图跟着一个边界层里的气块，从 300 km 外向内走。左边是俯视的轨迹；右边是它的切向风 $v$（实线）和同一半径的梯度风 $v_g$（虚线），以及农梯度力（$v^2/r+fv$ 与气压梯度力之差）。

外围：摩擦让 \(v

增大拖曳系数：摩擦更强，气块冲得更猛、超梯度更明显（入流更强），刹住的位置也会变化。观测和数值模拟中，台风边界层上部常有超过梯度风 10%–25% 的急流。

在台风里这就是 Smith 和 Montgomery 等强调的“边界层增强机制”：最大切向风其实出现在边界层里，而不是边界层以上。边界层顶的超梯度风被上升气流带上去，再被向外的合力减速，在眼墙下部形成浅薄的外流。这个过程有多大贡献，近年仍有讨论（例如 Li et al. 2020、Fei et al. 2021 认为向上输送超梯度风对增强的净贡献有限）。

数学一点点

平板边界层（深度 $h$）中气块的径向和切向动量方程：

$$\frac{du}{dt} = \underbrace{\frac{v^2 - v_g^2}{r} + f(v - v_g)}_{\text{农梯度力}} - \frac{C_D}{h}|\mathbf V|\,u,\qquad \frac{dv}{dt} = -u\Big(f+\frac{v}{r}\Big) - \frac{C_D}{h}|\mathbf V|\,v$$

第二式等价于 $dM/dt = -r\,C_D|\mathbf V|v/h$：没有摩擦时角动量守恒。

延伸阅读：Montgomery & Smith（2017）PDF 第 9–10 页（边界层动力学与“所有径向力都向外”）；Kepert & Wang（2001）PDF 第 1 页（急流超梯度 10%–25%）；Li et al.（2020）PDF 第 7 页；Fei et al.（2021）；Smith & Montgomery（2010）。

等角动量面：眼墙为什么斜着长

从眼里往上看，眼墙像体育场的看台，下窄上宽。原因是绝对角动量 $M$ 的等值面向外上方倾斜，而上升的空气没有摩擦时保持 $M$，只能顺着等 M 面往上走。

图是径向–高度剖面，左边是台风中心。$M = rv + \tfrac12 fr^2$：在同一半径上，暖心让切向风 $v$ 随高度减小（第 9 节），所以 $M$ 向上减小；在同一高度上，$\tfrac12 fr^2$ 随半径迅速增大，所以 $M$ 向外增大。两者合起来，等 M 面就向外上方倾斜。

眼墙的上升气流从边界层顶出发，在自由大气里几乎不受摩擦，$M$ 守恒，离不开自己那一条等 M 面（离开就会被第 8 节的惯性回复力拉回来）。所以眼墙云的形状就是过 RMW 的那条等 M 面：低层接近直立，越往上越外倾，到对流层顶附近几乎变成水平的出流。眼区里的等 M 面则近乎直立。

拖动“最大风半径”：RMW 越大，眼墙越斜；最大风速对倾斜的影响小得多。这和 Ohno et al.（2016）式 (11) 一致：等 M 面的斜率与半径成正比。

在台风里下一节的卡诺热机模型正是假设眼墙上升沿等 M 面、并且是湿绝热的。边界层里情况不同：摩擦让入流空气不断损失 $M$，空气才能一直流到 RMW 附近；所以边界层里 $M$ 不守恒，等 M 面和等 $\theta_e$ 面也会分开。图里的风场是按“暖心使风随高度减弱 + 涡旋随高度略变宽”构造的示意风场，不是某个台风的观测。

数学一点点

$$M = rv + \tfrac12 f r^2,\qquad \frac{\partial M}{\partial z} = r\frac{\partial v}{\partial z} < 0,\qquad \frac{\partial M}{\partial r} = r(\zeta + f) > 0$$

沿等 M 面 $dM = 0$，所以等 M 面的斜率为

$$\Big(\frac{dz}{dr}\Big)_M = -\frac{\partial M/\partial r}{\partial M/\partial z} > 0$$

分子为正就是惯性稳定的条件（$\zeta+f>0$），分母由暖心决定。$\partial M/\partial r$ 越小（离中心远）或 $|\partial M/\partial z|$ 越大（风随高度减得快），面就越平、越外倾。图中风场：$v(r,z)=v_s\big(r/s(z)\big)F(z)$，$v_s$ 是第 13 节用的光滑兰金涡，$F$ 在边界层顶（1 km）以上随高度减小、对流层顶附近略为负，$s(z)$ 让涡旋向上变宽 30%。

延伸阅读：COMET《Introduction to Tropical Meteorology》第 10 章（2008，本地顾问工具/示意图/参考资料/Ch10_Tropical_Cyclones.pdf） Box 10-6，PDF 第 91 页（等 M 面向外上方倾斜、眼墙沿等 M 面）、PDF 第 84 页（卡诺循环 B→C 沿等 M 面）；Wang（2008）PDF 第 6 页（模拟中眼区等 M 面近乎直立、眼区以外随高度越来越外倾，眼墙上升沿等 M 面）；Ohno et al.（2016）PDF 第 13 页（等 M 面斜率与半径的关系）。

卡诺热机与潜在强度

台风是一部热机：在温暖的海面吸热，在寒冷的对流层顶放热，中间把热变成风的动能。海面越暖、出流越冷，效率越高，台风能达到的上限（潜在强度）越大。

跟着气块走一圈（Emanuel 1986, 2018）：

A→B 等温膨胀：沿海面向内流，气压下降、膨胀，从海面吸收潜热和感热（温度基本不变，熵增加）。B→C 绝热上升：在眼墙里沿湿绝热线、也沿着等角动量面（第 15 节）上升到对流层顶，熵不变，温度大幅下降。C→D 等温压缩：在出流层向外流，向太空辐射放热，熵减少。D→A 绝热下沉：在远处缓慢下沉回到海面。

右边的温度–熵图里，这一圈是一个矩形，面积就是做的功。海温升高（矩形变高）或出流温度降低（底边下移），面积都变大。

在台风里做的功被边界层的摩擦耗散；耗散的热又回到边界层空气里，相当于再吸一次热。把吸热和耗散相等写出来，就得到 Emanuel 的潜在强度（PI）公式。滑块右边是用你选的参数现算的 PI。注意它是近地面风速的上限；数值模拟中边界层以上的最大风可以超过它（超强度），见 Emanuel（2018）的讨论。大多数台风达不到自己的 PI：任意时刻抽一个台风，它的强度落在“台风阈值”到 PI 之间各处的可能性差不多。

数学一点点

Emanuel（2018）式 15-7（包含耗散加热）：

$$|V_s|^2 = \frac{C_k}{C_D}\,\frac{T_s - T_o}{T_o}\,\big(k_0^* - k\big)$$

$T_s$ 为海温，$T_o$ 为出流温度，$k=c_pT+L_vq$ 为比焓，$k_0^*$ 为海面温度下的饱和比焓。耗散加热使效率的分母从 $T_s$ 变成 $T_o$。这里的 $k_0^*-k$ 按海面 1000 hPa、近地面气温比海温低 1 K、给定相对湿度估算，没有计入气压降低使 $k_0^*$ 增大的正反馈。

延伸阅读：Emanuel（2018）PDF 第 13 页（式 15-7 及三点说明）；Emanuel（2003）PDF 第 10 页（卡诺循环的能量收支）；Emanuel（1986）；Bister & Emanuel（1998，耗散加热）；COMET《Introduction to Tropical Meteorology》第 10 章（2008，本地顾问工具/示意图/参考资料/Ch10_Tropical_Cyclones.pdf） PDF 第 84 页（B→C、D→A 沿等角动量面）、第 89 页（强度在阈值与 PI 之间近乎均匀分布）。

WISHE：风–蒸发反馈

风越大，海面蒸发越多，边界层 θe 越高，暖心越强，中心气压越低，风又更大。这个正反馈叫 WISHE（风致海面热交换）。它能把台风推到多强，又是不是台风增强必需的？

左边的环一环一环亮起，表示反馈的链条。右边是一个玩具强度模型：动能的增加 = 海面输入的能量 − 摩擦耗散。WISHE 打开时，海面通量随风速增大，台风最终达到潜在强度 $V_p$；勾选“通量风速封顶”，海面通量只按不超过封顶值的风速计算，相当于在模型里切断 WISHE。

你会看到：封顶以后台风仍然增强，只是达到的强度低一些。这和两派观点都对得上：Montgomery 等发现把通量封顶后模拟的涡旋仍会增强，因此认为 WISHE 不是增强所必需的；但保留风速依赖时涡旋会更强。Chavas（2017）的理论也表明，封顶后仍有剩余功率使风暴增强，WISHE 是增强的重要组成部分，而不是唯一原因。

在台风里研究强度变化时，要分清“能量从哪来、上限在哪”（WISHE 和 PI 说得清）与“具体怎样一步步增强”（还牵涉对流组织、边界层动力、涡旋罗斯贝波等）。这两类问题经常被混在一起讨论。

数学一点点

玩具模型（单位面积气柱的动能收支，$h$ 取一个让时间尺度接近真实台风的有效深度）：

$$h\,\frac{dV}{dt} = C_D\Big(V_p^2\,\frac{V_f}{V} - V^2\Big),\qquad V_f = \begin{cases} V & \text{WISHE 打开}\\ \min(V, V_{\mathrm{cap}}) & \text{通量风速封顶}\end{cases}$$

平衡态：WISHE 打开时 $V = V_p$；封顶时 $V^3 = V_p^2 V_{\mathrm{cap}}$。这个模型只用来说明反馈的含义，不是强度预报模型。

延伸阅读：Rotunno & Emanuel（1987）；Montgomery & Smith（2017）PDF 第 9 页（通量封顶后涡旋仍增强）；Chavas（2017）PDF 第 8 页（封顶通量下的剩余功率）；Montgomery & Smith（2014）PDF 第 23 页“Is WISHE essential?”。

涡旋罗斯贝波

把第 10 节的 β 换成台风自己的径向涡度梯度，就得到涡旋罗斯贝波。扰动被涡旋的差速旋转剪切成螺旋带，向外传播，到“停滞半径”附近慢下来并被吸收，涡旋重新变得轴对称，同时平均风被改变。

这是一个现场计算的二维正压涡度方程模式（128×128 网格，伪谱方法）。初始是一个光滑的单极涡，在 RMW 附近叠加一个 $m$ 波的涡度扰动。左图默认只显示扰动涡度 $\zeta'$（紫正、青负），可以切换成全涡度；右图是方位平均的涡度、切向风，以及“有效 $\beta$”即 $-d\bar\zeta/dr$。

看三件事：① 扰动被内快外慢的旋转剪切成越来越紧的螺旋（和台风内雨带的样子很像）；② 螺旋的波包向外传播，但越往外越慢，因为那里的涡度梯度（恢复力）弱；③ 扰动逐渐消失（轴对称化），平均切向风在注入半径以内略有增强、以外略有减弱。最后一点说明波把角动量向内输送了。

在台风里涡旋罗斯贝波的相速度小于平均切向风，所以在地面看它“逆着风”向上游传。Montgomery & Kallenbach（1997）的理论说明，对轴对称化的扰动，径向群速度总是向外，并提出 RMW 附近持续的涡度注入可以通过这种波–流相互作用使涡旋增强。Wang（2002）的模拟中停滞半径约在 70 km。

数学一点点

在半径 $R$ 附近的一个局地坐标里，基本态角速度 $\bar\Omega(r)$、涡度梯度 $d\bar\zeta/dr$。对扰动 $\propto e^{i(kr+n\lambda-\omega t)}$（$n$ 为方位波数），Montgomery & Kallenbach（1997）给出

$$\omega = n\bar\Omega + \frac{n}{R}\,\frac{d\bar\zeta/dr}{k^2 + n^2/R^2}$$

对单极涡 $d\bar\zeta/dr<0$，所以波相对平均流逆向传播（类比行星罗斯贝波向西）。差速旋转让 $k$ 随时间增大，$k^2$ 变大后群速度减小，波包在某个半径停下，这就是停滞半径。

模式方程：$\partial_t\zeta + J(\psi,\zeta) = -\nu\nabla^8\zeta,\ \nabla^2\psi=\zeta$。

延伸阅读：Montgomery & Kallenbach（1997）PDF 第 1 页（摘要）、第 11 页（群速度向外）；Möller & Montgomery（1999）PDF 第 1 页（轴对称化使基本态增强）；Wang（2002）PDF 第 10 页（停滞半径、逆风传播）；Guinn & Schubert（1993）。

台风里的涡旋罗斯贝波：多边形眼墙、中尺度涡与螺旋雨带

眼墙的高涡度是一个环，眼区涡度低。环的内侧涡度梯度反号，于是正压不稳定：环会卷成多边形和几个中尺度涡，最后把高涡度混进眼区。

预设 A：空心涡度环。这和 Schubert et al.（1999）的实验设置相同：眼区涡度低，眼墙是一个高涡度环。环内外两侧的涡度梯度符号相反，两侧的涡旋罗斯贝波可以相互锁相、共同增长（这是正压不稳定的一种理解方式）。环越薄，不稳定的波数越高，可以试试“环宽”滑块。几小时后环变成多边形，然后断裂成几个中尺度涡，最后混合成一个中心涡度最大的单极涡。

预设 B：持续注入。每隔一段时间在 RMW 附近注入一个方位平均为零的扰动（模拟对流产生的涡度团）。注入本身不改变平均涡度，但扰动被轴对称化时把角动量向内输送，下方小图里 RMW 以内的平均风逐渐增强（Montgomery & Kallenbach 1997、Möller & Montgomery 1999 的机制）。

螺旋雨带。预设 B 中，扰动被剪切出来的螺旋带就是台风内雨带的动力学原型：Chen & Yau（2001）和 Wang（2002）在全物理模拟中把内核的螺旋 PV 带识别为涡旋罗斯贝波。

在台风里雷达和卫星上看到的三角形到六边形的眼墙、眼区里的中尺度涡、眼区气压的快速下降，都可以用这种混合过程来理解（Kossin & Schubert 2001）。这里的模式是二维、无加热、无摩擦的，所以只能说明涡度动力学本身能做到什么。

数学一点点

正压不稳定的必要条件（第 11 节 Rayleigh–Kuo 准则在涡旋中的形式）：基本态涡度的径向梯度 $d\bar\zeta/dr$ 在某处改变符号。空心环在环的内缘 $d\bar\zeta/dr>0$、外缘 $<0$，满足这个条件。

Schubert et al.（1999）还用最小拟能假设预测了混合后的终态：轴对称、中心涡度最大，并且与初始扰动的细节无关。

延伸阅读：Schubert et al.（1999）PDF 第 1 页（摘要：多边形眼墙由 RMW 附近的正压不稳定形成，伪谱模式、终态单极涡）；Kossin & Schubert（2001）；Chen & Yau（2001）PDF 第 9 页；Wang（2002）；Jiang & Wang（2022，正压不稳定与 β 效应）。

高空槽：从上层影响台风（涡动角动量通量）

台风低层的惯性稳定度很大，外界很难推动它；高层出流区却很“软”。高空槽靠近出流时，带来的非对称风可以向内输送气旋性动量，削弱出流反气旋，让次级环流变强，台风可能因此增强。

把风拆成方位平均（对称的台风）和偏离平均的部分（教材把这部分都叫作“环境”）。对称台风某个半径上的切向风，只能靠径向输送来改变；输送里只来自非对称流的那一部分，就是涡动角动量通量 $-r\langle u'v'\rangle$。

左图：槽在西北方。它造成的非对称径向风 $u'$ 和切向风 $v'$ 在东北侧向外送反气旋动量、在西南侧向内送气旋动量时，两处的 $u'v'$ 都小于零（紫色），教材称为“正的”涡动角动量通量，净效果是削弱出流反气旋。右图是它的辐合 EFC：在 300–600 km 为正，相当于给出流层一个气旋式的动量源。槽轴倾斜反过来时，输送方向也反过来；不倾斜时 $u'$ 和 $v'$ 不相关，平均下来没有净输送。

出流层的绝对涡度小，同样的动量源能激发较强的向外径向流（右上方读数）。教材的解释是：高层反气旋被削弱后，下方的入流和上升支仍与下方的涡旋平衡，只有出流支失衡；失衡的弱旋转气流最容易被调整，于是次级环流加强，中心附近上升和对流增多。

在台风里高空槽有“好槽”和“坏槽”之分：槽同时带来垂直风切变（通常使台风减弱）和涡动角动量通量辐合（通常与增强相联系），哪个占上风决定结果（Hendricks et al. 2010 的综述）。教材还提到：Diana（1984）个例里高层涡动通量诱发了地面入流，加大了海面水汽通量；理想试验里，用“不发展”扰动的观测涡动通量也能压住本可发展的涡旋。这里的动画只演示“槽的形状 → 通量的符号和大小”这一步。

数学一点点

$$u = \bar u + u',\quad v = \bar v + v',\qquad -r\langle uv\rangle = -r\,\bar u\,\bar v - r\langle u'v'\rangle$$

$\langle\ \rangle$ 为方位平均，$\langle u'\rangle=\langle v'\rangle=0$。第一项是对称次级环流的输送，第二项是涡动角动量通量。它的辐合

$$\mathrm{EFC} = -\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\big(r^2\langle u'v'\rangle\big)$$

是平均切向风倾向里的涡动项。图中的非对称流由流函数 $\psi' = -A\,g(r)\cos\big(\lambda-\lambda_0-\phi(r)\big)$ 给定，$g$ 是以槽距离为中心的高斯，$\phi = \text{倾斜}\times(r-r_T)/w$。可以算出 $\langle u'v'\rangle = A^2 g^2 \phi'/(2r)$：没有相位倾斜（$\phi'=0$）就没有净通量。读数里的径向流增量用 $\Delta u \approx F/(f+\zeta)$ 估算（$F$ 取 300–600 km 平均 EFC，$\zeta$ 取示意出流反气旋在 450 km 处的值），只表示量级。

延伸阅读：COMET《Introduction to Tropical Meteorology》第 10 章（2008，本地顾问工具/示意图/参考资料/Ch10_Tropical_Cyclones.pdf） §10.3.3.4，PDF 第 64–66 页（式 (6)(7)、Fig. 10.32、出流支失衡的解释）、PDF 第 28 页（出流反气旋的惯性稳定度很弱）；Hendricks et al.（2010）PDF 第 5 页（槽通过切变与涡动通量辐合两条途径影响强度，“好槽 / 坏槽”）；Montgomery & Smith（2017）PDF 第 22 页（涡动动量通量在增强中的作用）。

β 漂移：台风为什么会自己向西北走

没有任何环境风，北半球的台风也会向西北缓慢移动，约每秒 1–3 米。原因是台风的环流在 β 平面上搅出一对β 涡旋，它们之间的气流推着台风走。

这是第 10 节的罗斯贝波原理在台风上的直接应用，同样用二维涡度方程现算，只是打开了 $\beta$ 项。台风的逆时针环流把东侧的空气向北带、西侧的空气向南带。向北走的空气 $f$ 增大，相对涡度减小，形成一个反气旋；向南走的形成一个气旋。随着涡旋环流继续转动，这对涡旋最终稳定在台风的东北侧（反气旋）和西南侧（气旋）。这对涡旋叫 β 涡旋（等值线显示的是扣除轴对称部分后的流函数）。两者之间是从东南吹向西北的气流，台风就被它带着向西北漂移。

右边的读数是模式里的漂移速度和方向。增大台风的尺度（外围风更强），漂移会更快，这是因为 β 涡旋主要由外围环流产生。

在台风里台风的实际移动 ≈ 环境引导气流 + β 漂移。即使引导气流很弱，台风也会慢慢向西北偏；引导气流的预报误差和 β 漂移的大小，是路径预报误差的两个来源。β 涡旋造成的非对称入流（东南侧入流增强）也会影响台风强度（Peng et al. 1999）。

数学一点点

$$\frac{\partial\zeta}{\partial t} + J(\psi,\zeta) + \beta\,\frac{\partial\psi}{\partial x} = 0$$

把 $\zeta$ 分成对称涡旋和非对称部分，$\beta\,\partial\psi/\partial x$ 项把对称涡旋的切向风投影成 1 波的强迫，产生 β 涡旋；β 涡旋中心之间的均匀气流平流对称涡旋。

延伸阅读：Peng et al.（1999）PDF 第 10 页（β 涡旋产生东南–西北走向的 1 波环流）；Wang & Holland（1996）PDF 第 1 页（斜压涡旋的 β 漂移）。